10423. Дан треугольник ABC
. На его сторонах AB
и BC
зафиксированы точки C_{1}
и A_{1}
соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC
такую точку P
, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC_{1}
и CPA_{1}
минимально.
Ответ. P
— диаметрально противоположна точке B
.
Решение. Первый способ. Пусть K
— вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников APC_{1}
и CPA_{1}
(рис. 1). Докажем, что K
лежит на прямой A_{1}C_{1}
.
Четырёхугольники AC_{1}KP
и KA_{1}CP
вписанные, поэтому
\angle C_{1}KP=180^{\circ}-\angle C_{1}AP,~\angle A_{1}KP=180^{\circ}-\angle A_{1}CP.
С другой стороны, из вписанного четырёхугольника ABCP
получаем, что
\angle C_{1}AP+\angle A_{1}CP=180^{\circ}.
Таким образом,
\angle C_{1}KP+\angle A_{1}KP=180^{\circ},
значит, точка K
лежит на прямой A_{1}C_{1}
.
При другом расположении точки P
(на дуге AB
или BC
) доказательство аналогично.
Пусть M_{A}
и M_{C}
— середины отрезков C_{1}K
и A_{1}K
, O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников APC_{1}
и CPA_{1}
соответственно. Тогда O_{1}M_{A}
— серединный перпендикуляр к отрезку C_{1}K
, O_{2}M_{C}
— серединный перпендикуляр к отрезку A_{1}K
. Следовательно, M_{A}M_{C}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}
, а M_{A}M_{C}O_{2}O_{1}
— прямоугольная трапеция (или прямоугольник). Тогда O_{1}O_{2}\geqslant M_{A}M_{C}
, а равенство достигается тогда и только тогда, когда O_{1}O_{2}\parallel M_{A}M_{C}
.
Таким образом, O_{1}O_{2}\geqslant\frac{1}{2}A_{1}C_{1}
и минимальное значение O_{1}O_{2}
равно \frac{1}{2}A_{1}C_{1}
.
Определим, при каком расположении точки P
достигается минимум длины отрезка O_{1}O_{2}
. Линия центров двух окружностей перпендикулярна общей хорде (см. задачу 1130), поэтому O_{1}O_{2}\perp KP
. Значит, необходимо найти, при каком положении точки P
прямые KP
и A_{1}C_{1}
перпендикулярны.
В этом случае \angle C_{1}KP=90^{\circ}
. Четырёхугольник AC_{1}KP
вписанный, следовательно, \angle BAP=90^{\circ}
. Значит, расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC_{1}
и CPA_{1}
минимально, когда точка P
диаметрально противоположна точке B
.
Второй способ. Пусть F
и Q
— середины отрезков AC_{1}
и CA_{1}
соответственно, L
и M
— середины отрезков AP
и CP
соответственно, N
— точка пересечения прямых FO_{1}
и QO_{2}
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Центр окружности, описанной около треугольника APC_{1}
лежит на серединном перпендикуляре FO_{1}
к отрезку AC_{1}
. Аналогично, центр окружности, описанной около треугольника CPA_{1}
лежит на серединном перпендикуляре QO_{2}
к отрезку A_{1}C
(рис. 2).
Поскольку A_{1}
и C_{1}
— фиксированные точки, то точка K
и угол между прямыми O_{1}N
и NO_{2}
также фиксированы.
Точки O
и O_{1}
лежат на серединном перпендикуляре LO
к отрезку AP
. Аналогично, точки O
и O_{2}
лежат на серединном перпендикуляре MO
к отрезку CP
. Четырёхугольник LOMP
вписанный, значит,
\angle LOM=180^{\circ}-\angle APC=\angle ABC.
Четырёхугольник FBQN
также является вписанным, поэтому
\angle O_{1}NO_{2}=180^{\circ}-\angle ABC.
Таким образом,
\angle O_{1}NO_{2}+\angle O_{1}OO_{2}=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник O_{1}OO_{2}N
также вписанный.
Пусть радиус описанной окружности этого четырёхугольника равен R
. По теореме синусов
O_{1}O_{2}=2R\sin\angle O_{1}NO_{2}=2R.
Поскольку синус угла O_{1}NO_{2}
фиксирован, длина отрезка O_{1}O_{2}
будет минимальной, когда радиус описанной окружности четырёхугольника O_{1}OO_{2}N
будет минимальным. Поскольку ON
— хорда этой окружности, а точки O
и N
фиксированы, то минимальный диаметр этой окружности равен ON
(он не может быть больше хорды ON
). В этом случае \angle OO_{1}N=90^{\circ}
. В четырёхугольнике AFO_{1}L
углы F
, O_{1}
и L
равны 90^\circ
, следовательно и угол A
также равен 90^{\circ}
. Таким образом, PB
— диаметр окружности, описанной около треугольника ABC
.
При другом взаимном расположении точек O_{1}
, O_{2}
, O
и K
(например, если точка O_{1}
лежит между точками K
и O_{2}
) доказательство аналогично.
Примечание. К первому способу. Отметим, что на самом деле мы доказываем следующий факт.
Пусть на сторонах AB
, BC
и AC
(или на их продолжениях) треугольника ABC
выбраны точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
. Тогда описанные окружности треугольников AC_{1}B_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
пересекаются в одной точке (см. задачу 680).