10449. Основное свойство симедианы треугольника. Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках B
и C
пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая AP
содержит симедиану AS
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина стороны BC
, L
— основание биссектрисы треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Поскольку \angle CAP=\angle BAM
(см. задачу 2961), лучи AM
и AP
симметричны относительно прямой AL
. Следовательно, прямая AP
содержит симедиану AS
.
Второй способ. Пусть S'
— точка пересечения AP
и BC
, BM
и CL
— высоты треугольников ABP
и ACP
, опущенные на общую сторону AP
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ACP}}=\frac{BL}{CN}=\frac{BS'}{S'C}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABP=\frac{1}{2}\smile BCA=180^{\circ}-\angle ACB,~\angle ACP=\frac{1}{2}\smile ABC=180^{\circ}-\angle ABC.
Тогда
\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ACP}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BP\sin\angle ABP}{\frac{1}{2}AC\cdot CP\sin\angle ACP}=\frac{AB\sin\angle ACB}{AC\sin\angle ABC}=
=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
(BP=CP
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а \frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{AC}
по теореме синусов). Значит, \frac{BS'}{S'C}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
. Следовательно (см. задачу 11048), AS'
— симедиана треугольника ABC
.
Примечание. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.