2961. Из точки A
проведены касательные AB
и AC
к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D
и E
; M
— середина отрезка BC
. Докажите, что BM^{2}=DM\cdot ME
и угол DME
в два раза больше угла DBE
или угла DCE
; кроме того, \angle BEM=\angle DEC
.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности S
. Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что AB^{2}=AO\cdot AM
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей AB^{2}=AD\cdot AE
. Из равенства AO\cdot AM=AD\cdot AE
следует, что точки M
, O
, D
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Обозначим её S_{1}
.
Вписанные углы DME
и DOE
этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DME=\angle DOE
. Если точки D
и C
лежат по разные стороны от прямой AO
, то вписанный в окружность S
угол DCE
вдвое меньше центрального угла DOE
. Следовательно,
\angle DME=\angle DOE=2\angle DCE.
Если же точки D
и C
лежат по одну сторону от прямой AO
, то аналогично \angle DME=2\angle DBE
.
Пусть луч MB
пересекает окружность S_{1}
в точке K
. Поскольку \angle KMO=90^{\circ}
, отрезок OK
— диаметр этой окружности. Линия центров OK
окружностей S
и S_{1}
перпендикулярна их общей хорде DE
, поэтому дуги KD
и KE
окружности S_{1}
, не содержащие точки O
, равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, т. е. \angle DMK=\angle EMK
.
Пусть продолжения отрезков DM
и EM
пересекают окружность S
в точках E'
и D'
соответственно. Поскольку окружность S
симметрична относительно прямой AO
, а DE'
и ED'
образуют с этой прямой равные углы, точки D'
и E'
симметричны точкам соответственно D
и E
относительно прямой AO
. Тогда MD=MD'
и ME=ME'
.
По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BM^{2}=BM\cdot BM=BM\cdot MC=DM\cdot ME'=DM\cdot ME.
Дуги BD'
и CD
, не содержащие точки E
, симметричны относительно прямой AO
, поэтому опирающиеся на них вписанные в окружность S
углы BED'
и DEC
равны. Следовательно,
\angle BEM=\angle BED'=\angle DEC.