10458. Из точки A
к окружности \omega
проведена касательная AD
и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B
и C
(B
лежит между точками A
и C
). Докажите, что окружность, проходящая через точки C
и D
и касающаяся прямой BD
, проходит через фиксированную точку (отличную от D
).
Решение. Проведём из точки A
вторую касательную AE
к окружности \omega
. Пусть M
— середина отрезка DE
.
Докажем, что окружность, проходящая через точки C
и D
и касающаяся прямой BD
, проходит через точку M
или, что то же самое, окружность, описанная около треугольника DCM
, касается прямой BD
.
Воспользуемся следующим свойством симедианы (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы треугольника).
Прямая, проходящая через вершину треугольника и точку пересечения касательных к описанной около него окружности, проведённых из двух других вершин, содержит симедиану треугольника (см. задачу 10449).
Рассмотрим треугольник DCE
. В нём CM
— медиана, а CA
— симедиана. Следовательно, \angle BCE=\angle DCM
. С другой стороны, \angle BCE=\angle BDE
(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Значит, \angle BDE=\angle DCM
, откуда следует, что BD
— касательная к окружности, описанной около треугольника DCM
(см. задачу 144).
Итак, все окружности проходят через фиксированную точку M
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Подробнее о свойствах симедианы см., например, В.В.Прасолов «Задачи по планиметрии», глава 5, §13.
2. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
3. Также возможно решение с помощью инверсии. Воспользуемся свойствами инверсии (см. задачи 6110, 6111, 6112, 6114).
При инверсии относительно окружности с центром в точке D
и радиусом DA
окружность \omega
перейдёт в прямую, параллельную AD
, а прямая AC
, не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность, проходящую через центр инверсии, т. е. через точку D
. Значит, точки B'
и C'
(образы точек B
и C
) будут лежать на этой окружности, т. е. на окружности, проходящей через точки A
и D
. Следовательно, AD
и B'C'
— основания равнобокой трапеции (или противоположные стороны прямоугольника).
При рассматриваемой инверсии окружность, проходящая через точку C
и касающаяся BD
, перейдёт в прямую l
, проходящую через C'
и параллельную прямой B'D
. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно прямой C'B'
. Тогда
\angle A_{1}C'B'=\angle AC'B'=\angle DB'C'.
Значит, A_{1}C'\parallel DB'
, поэтому точка A_{1}
лежит на прямой l
.
Учитывая, что окружность \omega
, а, значит, и прямая B'C'
, фиксирована, получим, что точка A_{1}
также фиксирована. Следовательно, все окружности, проходящие через точку C
и касающиеся BD
, проходят через фиксированную точку (образ точки A_{1}
при указанной инверсии).