10498. Дан неравнобедренный треугольник ABC
, в котором \angle B=135^{\circ}
. Пусть M
— середина отрезка AC
. Точка O
— центр окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
. Луч BM
вторично пересекает окружность \Omega
в точке D
. Докажите, что центр окружности \Gamma
, описанной около треугольника BOD
, лежит на прямой AC
.
Решение. Поскольку \angle ABC=135^{\circ}
, то \angle AOC=90^{\circ}
, а так как OM
— медиана в прямоугольном треугольнике AOC
, то OM=AM=MC
.
На продолжении отрезка OM
за точку M
отметим точку E
так, что OM=ME
. Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому BM\cdot MD=AM\cdot MC=OM\cdot ME
. Следовательно, точка E
лежит на окружности \Gamma
(см. задачу 114).
Точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, поэтому AC\perp OM
. Значит, прямая AC
— серединный перпендикуляр к отрезку OE
. Поскольку отрезок OE
— хорда окружности \Gamma
, её центр лежит на прямой AC
.