10538. Дан треугольник ABC
и окружность \gamma
с центром A
, которая пересекает стороны AB
и AC
. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности \gamma
пересекает стороны AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Отрезки CX
и BY
пересекают окружность \gamma
в точках S
и T
соответственно. Описанные окружности треугольников ACT
и BAS
пересекаются в точках A
и P
. Докажите, что прямые CX
, BY
, и AP
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть U
— вторая точка пересечения прямой BY
с окружностью \gamma
. Поскольку TU
, AC
и общая хорда DE
окружностей ABC
и \gamma
пересекаются в точке Y
, то YT\cdot YU=YD\cdot YE=YA\cdot YC
, значит, точки A
, U
, C
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Аналогично, точки A
, B
, S
и вторая точка пересечения прямой CX
с окружностью \gamma
лежат на одной окружности. Следовательно, прямые CX
, BY
и AP
пересекаются в одной точке как радикальные оси окружностей \gamma
, ACT
и BAS
(см. задачи 6392 и 6393).