10645. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AC
и BC
равностороннего треугольника ABC
, причём AD:AC=CE:BC=1:3
. Отрезки AE
и BD
пересекаются в точке F
. Докажите, что \angle CFD=90^{\circ}
.
Решение. Поскольку
CD=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}BC=2CE~\mbox{и}~\angle DCE=60^{\circ},
треугольник CDE
прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 2643).
Треугольники ABD
и CAE
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle ADB=\angle CEA
. Тогда
\angle CDF+\angle CEF=(180^{\circ}-\angle ADB)+\angle CEA=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник CDFE
вписан в окружность (см. задачу 49), а так как \angle CED=90^{\circ}
, то CD
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle CFD=90^{\circ}
.