10666. Продолжения диаметра AC
и хорды BD
окружности пересекаются в точке P
(см. рис.). Точки E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
и C
на прямую BD
. Известно, что BE=2
. Найдите DF
.
Ответ. 2.
Указание. Докажите, что BE=DF
.
Решение. Опустим перпендикуляр OH
из центра O
окружности на хорду BD
. Тогда H
— середина отрезка BD
(см. задачу 1676).
Прямые AE
, OH
и CF
параллельны, а O
— середина отрезка AC
, значит, по теореме Фалеса H
— середина отрезка EF
. Следовательно,
DF=FH-DH=\frac{1}{2}FE-\frac{1}{2}BD=EH-BH=BE=2.