10782. В прямоугольную трапецию ABCD
(BC\parallel AD
, AB\perp AD
) вписана окружность с центром O
. Найдите площадь трапеции, если OC=6
, OD=8
.
Ответ. \frac{2352}{25}=94{,}08
.
Решение. Пусть окружность, вписанная в данную трапецию, касается большей боковой стороны CD
в точке E
. Треугольник COD
прямоугольный (см. задачу 313), а OE
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 1967),
OE=\frac{OC\cdot OD}{CD}=\frac{6\cdot9}{\sqrt{36+64}}=\frac{24}{5}.
Поскольку OE
— радиус окружности, а меньшая боковая сторона равна диаметру окружности,
AB=2\cdot\frac{24}{5}=\frac{48}{5}.
Кроме того, AB
— высота трапеции.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме её боковых сторон (см. задачу 310), следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{AB+CD}{2}\cdot AB=
=\frac{\frac{48}{5}+10}{2}\cdot\frac{48}{5}=\frac{48\cdot49}{25}=\frac{2352}{25}=94{,}08.