10817. Площадь трапеции равна 16. Площадь треугольника, образованного отрезками диагоналей и одной из боковых сторон, равна 3. Найдите площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции.
Ответ. 1 и 9.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями AD\gt BC
, O
— точка пересечения диагоналей, S_{\triangle AOB}=3
. Тогда
S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=3
(см. задачу 4190).
Пусть S_{\triangle BOC}=S_{1}
, S_{\triangle AOD}=S_{2}
. Тогда
S_{1}+S_{2}=16-2\cdot3=10~\mbox{и}~S_{1}\cdot S_{2}=S^{2}_{\triangle AOB}=9
(см. задачу 4191). Учитывая условие AD\gt BC
, из системы
\syst{S_{1}+S_{2}=10\\S_{1}\cdot S_{2}=9\\}
находим, что S_{1}=1
и S_{2}=9
.