10862. Биссектрисы углов BAD
и BCD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке K
, лежащей на диагонали BD
. Точка M
— середина отрезка BD
. Прямая, параллельная AD
и проходящая через точку C
, пересекает луч AM
в точке P
, лежащей вне четырёхугольника. Докажите, что DP=DC
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AB}{AD}=\frac{BK}{DK}=\frac{CD}{BC},
поэтому AB\cdot CD=BC\cdot AD
.
Пусть точка C'
симметрична точке C
относительно серединного перпендикуляра к отрезку BD
, а прямая прямая AC'
пересекает диагональ BD
в точке M'
. Тогда C'
лежит на описанной окружности четырёхугольника ABCD
, а из симметрии BC=DC'
и DC=BC'
. Значит, AB\cdot BC'=DC'\cdot AD
.
Четырёхугольник ABC'D
вписанный, поэтому сумма углов ABC'
и ADC'
равна 180^{\circ}
. Тогда
S_{\triangle ABC'}=\frac{1}{2}AB\cdot BC'\sin\angle ABC'=\frac{1}{2}DC'\cdot AD\sin(180^{\circ}-\angle ADC')=
=\frac{1}{2}DC'\cdot AD\sin\angle ADC'=S_{\triangle ADC'}.
С другой стороны, если D'
— точка, симметрична точке B
относительно M'
, то
S_{\triangle ABC'}=\frac{1}{2}S_{ABC'D'}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC'\cdot BD'\sin\angle AM'B=\frac{1}{2}AC'\cdot BM'\sin\angle AM'B.
Аналогично,
S_{\triangle ADC'}=\frac{1}{2}AC'\cdot DM'\sin\angle AM'D,
а так как \sin\angle AM'B=\sin AM'D
, то BM'=DM'
, т. е. M'
совпадает с M
, а точка C'
лежит на прямой, содержащей точки A
, M
и P
.
Поскольку из симметрии дуги BC
и DC'
равны, то
\angle MAD=\angle C'AD=\angle CAB=\angle CDB.
Аналогичным образом из условия AB\cdot CD=BC\cdot AD
выводятся равенства
\angle MCD=\angle BCA=\angle BDA
(в этом случае рассматривается точка, симметричная вершине A
относительно серединного перпендикуляра к диагонали BD
).
Из параллельности прямых CP
и AD
получаем, что
\angle ADC=\angle PCD,~\angle CPM=\angle MAD.
Из последнего равенства вытекает, что \angle CPM=\angle MDC
, т. е. из точек D
и P
, лежащих по одну сторону от прямой CM
, отрезок CM
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник CPDM
вписан в окружность (см. задачу 12), поэтому
\angle MPD=\angle MCD=\angle MDA.
Окончательно,
\angle CPD=\angle CPM+\angle MPD=\angle MDC+\angle MDA=
=\angle ADC=\angle PCD,
т. е. треугольник DCP
равнобедренный, и DP=DC
.
Примечание. Вписанные четырёхугольники с равными произведениями противоположных сторон называются гармоническими. В таких четырёхугольниках диагональ является симедианой (т. е. прямой, симметричной медиане относительно соответствующей биссектрисы) для треугольников, на которые четырёхугольник разбит другой диагональю. Это одно из интересных свойств гармонических четырёхугольников, которое фактически и использовалось в решении задачи.