10894. Дан треугольник ABC
. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах BC
, CA
и AB
соответственно, AV
— биссектриса треугольника ABC
, причём отрезки AD
, BE
, CF
пересекаются в одной точке, а точки A
, F
, D
, V
и E
лежат на одной окружности. Докажите, что AD\perp BC
.
Решение. Обозначим AC=b
и AB=c
. Точки A
, F
, D
и V
лежат на одной окружности, поэтому
FB\cdot AB=BV\cdot BD,~\mbox{или}~BF\cdot c=BV\cdot BD
(см. задачу 2536). Аналогично, CE\cdot b=VC\cdot DC
. Значит,
\frac{BD}{DC}=\frac{FB\cdot c\cdot VC}{CE\cdot b\cdot BV},
а так как по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BV}{VC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},
то
\frac{BD}{DC}=\frac{FB\cdot c\cdot VC}{CE\cdot b\cdot BV}=\frac{VC}{BV}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{FB}{CE}=\frac{FB}{CE}.
По теореме Чевы
1=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{EA}\cdot\left(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{FB}\right)=\frac{AF}{EA},
поэтому AF=EA
.
В равнобедренном треугольнике EAF
биссектриса AV
угла EAF
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BE
, т. е. к хорде BE
, поэтому AV
— диаметр окружности. Следовательно, \angle ADV=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.