10932. Внутри треугольника ABC
взята такая точка D
, что \angle ABD=\angle CBD=40^{\circ}
, \angle ACD=20^{\circ}
, \angle CAD=30^{\circ}
. Найдите:
а) углы BAD
и BCD
;
б) расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC
и BCD
, если BC=3
Ответ. а) 30^{\circ}
и 20^{\circ}
; б) \sqrt{3}
.
Решение. а) Поскольку D
— точка пересечения лучей с вершинами A
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AC
и образующих с лучами AC
и CA
углы 30^{\circ}
и 20^{\circ}
соответственно, точка D
однозначно определяется точками A
и C
.
Поскольку из точки B
оба отрезка AD
и CD
видны под углом 40^{\circ}
, это точка пересечения двух дуг с хордами AD
и CD
, вмещающих угол 40^{\circ}
(см. задачу 12). Значит, точка B
однозначно определяется точками A
, C
и D
.
Очевидно, центр вписанной окружности треугольника ABC
удовлетворяет условиям, определяющим точку D
. Значит, этот центр и есть точка D
, поэтому лучи AD
и CB
— биссектрисы углов BAC
и ACB
. Следовательно,
\angle BAD=\angle CAD=30^{\circ},~\angle BCD=\angle ACD=20^{\circ}.
б) Радиус R
окружности, описанной вокруг треугольника ABC
, равен \frac{BC}{2\sin60^{\circ}}=\sqrt{3}
. Но
\angle BDC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 4770), поэтому радиус окружности, описанной вокруг треугольника BCD
, также равен \frac{BC}{2\sin120^{\circ}}=\sqrt{3}=R
. Общая хорда BC
равных пересекающихся окружностей пересекает отрезок между центрами в его середине. Следовательно, длина этого отрезка равна
2\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}BC^{2}}=2\sqrt{3-\frac{9}{4}}=\sqrt{3}.