10989. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором проведены высоты AP
и BQ
. Постройте на стороне AB
точку M
, для которой \angle AQM=\angle BPM
.
Решение. Предположим, что такая точка M
построена. Обозначим \angle AQM=\angle BPM=\varphi
, \angle BAC=\alpha
. Тогда (см. задачу 141)
\angle CPQ=\angle BAC=\alpha,~
поэтому
\varphi=\angle BPM=180^{\circ}-\alpha-\angle MPQ,
\varphi=\angle AQM=180^{\circ}-\angle MAQ-\angle AMQ=180^{\circ}-\alpha-\angle AMQ.
Значит,
180^{\circ}-\alpha-\angle MPQ=180^{\circ}-\alpha-\angle AMQ.
Отсюда получаем, что \angle AMQ=\angle MPQ
. Следовательно, AB
— касательная к описанной окружности треугольника PMQ
(см. задачу 144).
Отсюда вытекает следующее построение. Через точки P
и Q
проводим окружность, касающуюся стороны AB
(см. задачу 112). Точка касания — это и есть искомая точка M
.
Действительно, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle AMQ=\angle MPQ
и \angle BMP=\angle MQP
, или
180^{\circ}-\alpha-\angle AQM=180^{\circ}-\angle CPQ-\angle BPM=180^{\circ}-\alpha-\angle BPM.
Отсюда получаем, что \angle AQM=\angle BPM
.
Задача имеет единственное решение.