11008. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты соответственно точки N
, K
и L
так, что AL=BK
, а CN
— биссектриса угла ACB
. Отрезки AK
и BL
пересекаются в точке P
. Обозначим через I
и J
центры вписанных окружностей треугольников APL
и BPK
соответственно. Пусть Q
— точка пересечения прямых CN
и IJ
. Докажите, что IP=JQ
.
Решение. Если CA=CB
, то задача очевидна. Если CA\ne CB
, то без потери общности можем предположить, что CN
пересекает отрезок PK
.
Пусть описанные окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
треугольников APL
и BPK
соответственно второй раз пересеклись в точке T
. Тогда
\angle LAT=\angle TPB=\angle TKB,~\angle ALT=\angle APT=\angle TBK,
так как ALPT
и BKPT
— вписанные четырёхугольники. Значит, треугольники ALT
и KBT
равны по стороне (AL=BK
по условию) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AT=TK
.
Кроме того, из равенства углов LAT
и TKB
следует, что четырёхугольник ACKT
также вписанный, а так как хорды AT
и TK
его описанной окружности (обозначим её \omega
) равны, то \angle ACT=\angle TCK
, т. е. точка T
лежит на биссектрисе CN
.
Пусть прямая IJ
вторично пересекает окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
в точках I_{1}
и J_{1}
соответственно. Треугольники ALI_{1}
и BKJ_{1}
равны по стороне (AL=BK
) и прилежащим к ней углам
(\angle LAI_{1}=\angle LPI_{1}=\angle BPJ_{1}=\angle BKJ_{1},
и аналогично \angle ALI_{1}=\angle KBJ_{1}
).
Применив теорему о трилистнике (см. задачу 788) к треугольникам ALP
и BKP
, получим, что
I_{1}I=I_{1}L=J_{1}K=J_{1}J.
Кроме того,
\angle PI_{1}T=\angle PAT=\angle PKT=\angle PJ_{1}T,
т. е. треугольник I_{1}TJ_{1}
равнобедренный, TI_{1}=TJ_{1}
. Следовательно, I_{1}T=J_{1}T
. Таким образом, точка T
лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку I_{1}J_{1}
, и на серединном перпендикуляре к отрезку IJ
. Осталось доказать, что T
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ
.
Пусть отрезки AK
и CT
пересекаются в точке R
. Тогда
\angle PRT=\angle ART=\angle RAC+\angle ACR=\angle RAC+\angle AKT=
=\angle RAC+\angle KAT=\angle LAT=\angle BPT.
Луч PQ
делит угол RPB
пополам, поэтому
\angle PQT=\angle PRT+\angle RPQ=\angle BPT+\angle RPQ=\angle BPT+\angle QPB=\angle QPT,
следовательно, точка T
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку отрезка PQ
. Значит, IP=JQ
. Задача решена.