11010. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, а точка P
лежит на стороне AB
. Диагональ AC
пересекает отрезок DP
в точке Q
. Прямая, проходящая через точку P
параллельно стороне CD
, пересекает продолжение стороны CB
за точку B
в точке K
, а прямая, проходящая через точку Q
параллельно стороне BD
, пересекает продолжение стороны CB
за точку B
в точке L
. Докажите, что описанные окружности треугольников BKP
и CLQ
касаются.
Решение. Пусть прямая DP
вторично пересекает описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точке T
. Докажем, что описанные окружности треугольников BKP
и CLQ
касаются в точке T
. Четырёхугольник BCDT
вписанный, поэтому
\angle KBT=180^{\circ}-\angle CBT=\angle CDT,
а так как KP\parallel CD
, то \angle CDT=\angle KPT
. Значит,
\angle KBT=\angle CDT=\angle KPT.
Из точек B
и T
, лежащих по одну сторону от прямой KT
, отрезок KT
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, P
, K
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, точка T
лежит на описанной окружности треугольника BKP
.
Аналогично, из равенства
\angle LCT=\angle BDT=\angle LQT
следует, что точка T
также лежит на описанной окружности треугольника CLQ
. Остаётся доказать, что эти окружности в самом деле касаются в точке T
.
Пусть m
— касательная, проведённая в точке T
к описанной окружности треугольника BKP
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что угол \alpha
между прямой m
и прямой TD
равен углу TBP
, а так как
\angle TBP=\angle TBA=\angle TCA=\angle TCQ,
то \angle TCQ=\alpha
. Значит (см. задачу 144), прямая m
— касательная к описанной окружности треугольника CLQ
. Следовательно, m
— общая касательная окружностей (см. задачу 1759). Что и требовалось доказать.
Примечание. Точка T
может быть также описана как точка Микеля для любой четвёрки из пяти прямых AB
, BC
, AC
, KP
, LQ
. Утверждение задачи будет верно для аналогичной конструкции, где P
— произвольная точка на прямой AB
(не только в том случае, когда P
лежит на отрезке AB
).