11046. Пусть AP
и AQ
— изогонали относительно угла BAC
, P_{1}
и Q_{1}
— их проекции на прямую AB
, P_{2}
и Q_{2}
— на прямую AC
. Докажите, что точки P_{1}
, P_{2}
, Q_{1}
и Q_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку \angle P_{1}AP=\angle Q_{2}AQ
, прямоугольные треугольники P_{1}AP
и Q_{2}AQ
подобны, а так как \angle Q_{1}AQ=\angle P_{2}AP
, то подобны прямоугольные треугольники Q_{1}AQ
и P_{2}AP
. Значит,
\frac{AP_{1}}{AQ_{2}}=\frac{AP}{AQ},~~\frac{AP_{2}}{AQ_{1}}=\frac{AP}{AQ},
поэтому \frac{AP_{1}}{AQ_{2}}=\frac{AP_{2}}{AQ_{1}}
. Тогда AP_{1}\cdot AQ_{1}=AP_{2}\cdot AQ_{2}
. Следовательно, точки P_{1}
, P_{2}
, Q_{1}
и Q_{2}
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Примечание. По теореме Фалеса серединные перпендикуляры к отрезкам P_{1}Q_{1}
и P_{2}Q_{2}
пересекаются в середине O
отрезка PQ
, следовательно, O
— центр окружности, проходящей через точки P_{1}
, P_{2}
, Q_{1}
и Q_{2}
.