11136. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
; O
— центр описанной окружности, H
— ортоцентр, I
— центр вписанной окружности, I_{a}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Докажите, что IO=IH
и I_{a}O=I_{a}H
.
Решение. Первый способ. При симметрии относительно прямой BC
ортоцентр H
треугольника ABC
переходит в точку, лежащую на описанной окружности S
треугольника ABC
(см. задачу 4785), поэтому при этой симметрии окружность S
переходит в окружность S_{1}
, описанную около треугольника BHC
, а так как
\angle BOC=2\angle BAC=120^{\circ}=\angle BHC,
то точка O
также лежит на окружности S_{1}
.
Пусть Q
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
и серединного перпендикуляра к стороне BC
. Тогда Q
— середина не содержащей точки A
дуги окружности S
(см. задачу 1743). Значит, QO=OC=OB
как радиусы окружности S
, а так как \angle COQ=\angle BOQ=60^{\circ}
, то треугольники COQ
и BOQ
равносторонние, QO=QC=QB
, т. е. Q
— центр окружности S_{1}
, а OBQC
— ромб. Точка M
пересечения его диагоналей — середина отрезка OQ
,
Поскольку AH\parallel OQ
(перпендикуляры к прямой BC
) и AH=2OM=OQ
, четырёхугольник AHQO
— параллелограмм, а так как OA=OQ
, то это ромб. Точка I
лежит на его диагонали AQ
, т. е. на биссектрисе AQ
его угла OAH
, а точки H
и O
симметричны относительно этой биссектрисы. Следовательно, IO=IH
.
Точка I_{a}
лежит на луче AI
, а точки O
и H
симметричны относительно прямой AI_{a}
, следовательно, I_{a}O=I_{a}H
.
Второй способ. Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на сторону BC
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Поскольку \angle BAH=\angle CAO
(см. задачу 20), а AI
— биссектриса угла BAC
, то \angle IAH=\angle IAO
. Кроме того, AH=2OM
(см. задачу 1257), а так как
\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot2\angle BAC=\angle BAC=60^{\circ},
то
OM=\frac{1}{2}O=\frac{1}{2}R,~AH=R=OA.
Значит, треугольники AIH
и AIO
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, IO=IH
.
Точка I_{a}
(как и точка I
) лежит на биссектрисе угла BAC
, а значит, на биссектрисе угла HAO
. Треугольники AI_{a}H
и AI_{a}O
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, I_{a}O=I_{a}H
.