11140. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что точка, симметричная A_{1}
относительно прямой AC
, лежит на прямой B_{1}C_{1}
.
Решение. Пусть K
— точка, симметричная точке A_{1}
относительно прямой AC
. Каждый из углов CB_{1}A_{1}
и AB_{1}C_{1}
равен углу BAC
(см. задачу 141), поэтому
\angle CB_{1}K=\angle CBA_{1}=\angle AB_{1}C_{1}.
Значит, KB_{1}C_{1}
— развёрнутый угол. Следовательно, точка K
лежит на прямой B_{1}C_{1}
.
Примечание. Следствие. Если AA_{1}
— высота остроугольного треугольника ABC
, а точки K
и K
симметричны точке A_{1}
относительно прямых AC
и AB
соответственно, то точки пересечения прямой KL
со сторонами AB
и AC
— двух других высот треугольника ABC
.