11167. Хорды
AB
и
CD
окружности с центром
O
равны 4. Продолжения отрезков
BA
и
CD
за точки
A
и
D
соответственно пересекаются в точке
P
. Прямая
PO
пересекает отрезок
AC
в точке
L
, причём
AL:LC=2:3
.
а) Найдите
AP
.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности равен 2,5, а точка
T
— центр окружности, вписанной в треугольник
ACP
. Найдите длину отрезка
PT
и площадь треугольника
ACP
.
Ответ. а)
AP=8
; б)
PT=\frac{\sqrt{409}-5}{2}
,
S_{\triangle ACP}=\frac{5760}{409}
.
Решение. а) Пусть
ON
и
OH
— перпендикуляры к хордам
AB
и
CD
соответственно. Равные хорды равноудалены от центра окружности (см. задачу 1673), поэтому
ON=OH
. Значит, прямоугольные треугольники
ONP
и
OHP
равны по катету и гипотенузе. Тогда
PN=PH
, а
PO
— биссектриса угла
BPC
. Кроме того,
N
и
H
— середины хорд
AB
и
CD
(см. задачу 1676), поэтому
PA=PN-AN=PH-DH=PD.

Обозначим
PA=PD=y
. Пусть
E
— точка пересечения
PO
и
AC
. Тогда
PE
— биссектриса треугольника
APC
, значит (см. задачу 1509),
\frac{2}{3}=\frac{AE}{EC}=\frac{AP}{PC}=\frac{AP}{PD+DH}=\frac{y}{y+4}.

Отсюда находим, что
AP=y=8
.
б) Биссектриса вписанного угла
ACD
проходит (как и луч
PE
) через середину дуги, не содержащей точки
C
(см. задачу 430), значит, центр
T
окружности, вписанной в треугольник
ACP
(точка пересечения биссектрис треугольника), совпадёт с серединой этой дуги.
Из прямоугольного треугольника
DOH
находим, что
OH=\sqrt{OD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{3}{2}.

Обозначим
\angle CPE=\angle APE=\beta
. Тогда
\tg\beta=\frac{OH}{PH}=\frac{\frac{3}{2}}{8+2}=\frac{3}{20},~

\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{400}}}=\frac{20}{\sqrt{409}},~\sin\beta=\tg\beta\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{409}}.

Следовательно,
S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AP\cdot CP\sin2\beta=AP\cdot CP\sin\beta\cos\beta=8\cdot12\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}=\frac{5760}{409}

Из прямоугольного треугольника
POH
находим, что
PO=\frac{PH}{\cos\beta}=\frac{10}{\frac{20}{\sqrt{409}}}=\frac{\sqrt{409}}{2}.

Следовательно,
PT=PO-OT=\frac{\sqrt{409}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{409}-5}{2}.