11190. Вневписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC
касается стороны AB
в точке C'
и продолжений сторон AC
, BC
в точках B'
, A'
. Прямые AA'
и BB'
пересекаются в точке K
. Докажите, что точка K
лежит на описанной окружности треугольника ABC
тогда и только тогда, когда радиусы описанных окружностей треугольников ABC
и A'B'C'
равны.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть радиусы окружностей равны, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, O'
— центр его вневписанной окружности. Тогда
\angle A'O'A=\angle BO'A+\angle BO'A'=\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\beta}{2}\right)=
=\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)+\frac{\beta}{2}=\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha}{2}+\beta,
\angle OAO'=\angle OAB+\angle BAO'=(90^{\circ}-\gamma)+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=
=(180^{\circ}-\gamma)-\frac{\alpha}{2}=\alpha+\beta-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}+\beta=\angle A'O'A.
При этом OA=O'A'
, значит, четырёхугольник A'O'AO
— равнобедренная трапеция, поэтому её диагонали AA'
и OO'
равны. Аналогично, BB'=OO'
, следовательно, AA'=BB'
.
В треугольниках AA'C
и BB'C
известно, что CA'=CB'
и AA'=BB'
, но AC\ne BC
. Следовательно (см. задачу 10280),
\angle CAA'+\angle CBB'=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник ACBK
вписанный, т. е. точка K
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Обратно, пусть точка K
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Тогда, поскольку CA'=CB'
, а \angle CAA'+\angle CBB'=180^{\circ}
, радиусы описанных окружностей треугольников CAA'
и CBB'
равны (см. задачу 23). Значит, равны стороны этих треугольников, лежащие против общего угла C
, т. е. AA'=BB'
.
Предположим, что радиусы окружностей не равны, и отложим на лучах AO
и BO
такие точки X
и Y
, что AX=BY=OA'
. Тогда AXA'O'
— равнобедренная трапеция (см. доказательство достаточности), поэтому O'X=AA'
. Аналогично, O'Y=BB'
, а так как AA'=BB'
, то O'X=O'Y
. Значит, треугольники OO'X
и OO'Y
равны по трём сторонам. Тогда \angle AOO'=\angle BOO'
, что для неравнобедренного треугольника неверно.
Примечание. Отметим, что для равнобедренного треугольника утверждение задачи остаётся верным, в чём нетрудно убедиться прямой проверкой.