11245. Пусть A
— одна из точек пересечения окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, P_{1}P_{2}
и Q_{1}Q_{2}
— общие касательные окружностей (точки P_{1}
и Q_{1}
лежат на окружности с центром O_{1}
, точки P_{2}
и Q_{2}
— на окружности с центром O_{2}
), M_{1}
и M_{2}
— середины хорд P_{1}Q_{1}
и P_{2}Q_{2}
соответственно. Докажите равенство углов O_{1}AO_{2}
и M_{1}AM_{2}
.
Решение. Будем считать, что радиусы окружностей не равны. При гомотетии с центром в точке S
пересечения прямых P_{1}P_{2}
и Q_{1}Q_{2}
, переводящей вторую окружность в первую, радиус O_{2}A
второй окружности переходит в параллельный ему радиус O_{1}L
первой. Тогда
\angle O_{1}AO_{2}=\angle AO_{1}L~\mbox{и}~\angle M_{1}AM_{2}=\angle AM_{1}L.
Значит,
\angle O_{1}AO_{2}=\angle M_{1}AM_{2}~\Leftrightarrow~\angle AO_{1}L=\angle AM_{1}L.
Последнее равенство равносильно тому, что точки A
, M_{1}
, O_{1}
и L
лежат на одной окружности (см. задачу 12), что равносильно равенству углов ALO_{1}
и AM_{1}S
. В свою очередь это равенство равносильно подобию треугольников LSO_{1}
и M_{1}SA
, а это равносильно равенству \frac{SA}{SO_{1}}=\frac{SM_{1}}{SL}
, или SA\cdot SL=SM_{1}\cdot SO_{1}
.
По теореме о касательной и секущей SA\cdot SL=SP_{1}^{2}
(см. задачу 93), а так как PM_{1}
— высота прямоугольного треугольника SP_{1}O_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, то SP_{1}^{2}=SM_{1}\cdot SO_{1}
(см. задачу 2728). Значит, SA\cdot SL=SM_{1}\cdot SO_{1}
. Из этого верного равенства следует равносильное ему равенство углов O_{1}AO_{2}
и M_{1}AM_{2}
.