11308. Сторона BC
треугольника ABC
равна среднему арифметическому сторон AB
и AC
, A_{1}
— середина стороны BC
, P
— точка касания этой стороны с вписанной окружностью, AH
— высота треугольника. Докажите, что P
— середина отрезка A_{1}H
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, Q
— точка пересечения прямой A_{1}I
с высотой AH
. Тогда HQ=2IP=2r
(см. задачу 11307), а так как IP\parallel QH
, то IP
— средняя линия треугольника A_{1}QH
. Следовательно, PA_{1}=PH
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.