11309. Сторона BC
треугольника ABC
равна среднему арифметическому сторон AB
и AC
, AH
— высота треугольника, I
— центр вписанной окружности, N
— точка касания вневписанной окружности со стороной. Докажите, что I
— точка пересечения медиан треугольника ANH
.
Решение. Пусть A_{1}
— середина стороны BC
, P
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
, Q
— точка пересечения прямой A_{1}I
с высотой AH
. Тогда A_{1}P=PH
(см. задачу 11308) и IP\parallel AH
, значит, I
— середина отрезка A_{1}Q
, а так как AN\parallel A_{1}Q
(см. задачу 6729), то прямая HI
проходит через середину F
отрезка AN
(см. задачу 2607), т. е. HF
— медиана треугольника ANH
. Кроме того, NA_{1}=A_{1}P=PH
(см. задачи 6411 и 11308) и AN\parallel A_{1}Q
, значит, HI:IF=2:1
. Следовательно, I
— точка пересечения медиан треугольника ANH
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.