11324. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Прямая KL
параллельна CC_{1}
, причём точки K
и L
лежат на прямых BC
и B_{1}C_{1}
соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{1}KL
лежит на прямой AC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть M
— точка, симметричная точке A_{1}
относительно прямой AC
. Тогда
\angle MB_{1}C=\angle CB_{1}A_{1}=\angle ABC=\angle AB_{1}C_{1}
(см. задачу 141), поэтому точка M
лежит на прямой B_{1}C_{1}
.
Обозначим \angle A_{1}ML=\varphi
. Тогда
\angle A_{1}B_{1}C=\angle MB_{1}C=90^{\circ}-\varphi,
значит,
\angle BKL=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-\angle A_{1}B_{1}C=90^{\circ}-(90^{\circ}-\varphi)=\varphi=\angle A_{1}ML.
Следовательно, MLKA_{1}
— вписанный четырёхугольник. Точка M
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}KL
, поэтому центр этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде A_{1}M
, т. е. на прямой AC
.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Пусть M
— точка, симметричная точке A_{1}
относительно прямой AC
. Тогда
\angle(LM,MA_{1})=\angle(C_{1}B_{2},B_{1}A)=\angle(C_{1}C,CB),
значит, точка M
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}KL
.