11327. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Ответ. Две.
Решение. Предположим, что две несмежные стороны AB
и CD
выпуклого многоугольника равны наибольшей диагонали. Тогда AB+CD\geqslant AC+BD
. С другой стороны, известно, что для любого выпуклого четырёхугольника ABCD
верно неравенство AB+CD\gt AC+BD
(см. задачу 3516). Значит, несмежные стороны выпуклого многоугольника не могут быть равны его наибольшей диагонали. Следовательно, равными наибольшей диагонали могут быть только смежные стороны выпуклого многоугольника, т. е. таких сторон не более двух.
С другой стороны, для любого n\gt3
существует выпуклый многоугольник с двумя сторонами, равными наибольшей диагонали. Например, для n=4
возьмём сектор AOB
с углом, меньшим 60^{\circ}
. На дуге AB
этого сектора отметим произвольную точку C
. Тогда стороны OA
и OB
выпуклого четырёхугольника OACB
равны его наибольшей диагонали OC
. Аналогично строится пример для любого n\gt4
.