11331. На сторонах треугольника ABC
внешним образом построены квадраты с центрами A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Пусть a_{1}
, b_{1}
и c_{1}
— длины сторон треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, S
и S_{1}
— площади треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что:
а) a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+6S
;
б) S_{1}-S=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}
.
Решение. а) Пусть BC=a
, AC=b
, и AB=c
; \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
; A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— центры квадратов со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно; B_{1}C_{1}=a_{1}
, A_{1}C_{1}=b_{1}
и A_{1}B_{1}=c_{1}
; S_{\triangle ABC}=S
, S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{1}
.
По теореме косинусов
a_{1}^{2}=B_{1}C_{1}^{2}=AC_{1}^{2}+AB_{1}^{2}-2AC_{1}\cdot AB_{1}\cos\angle B_{1}AC_{1}=
=\frac{c^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}-2\cdot\frac{c}{\sqrt{2}}\cdot\frac{b}{\sqrt{2}}\cos(90^{\circ}+\alpha)=\frac{c^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+bc\sin\alpha=\frac{c^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+2S.
Аналогично,
b_{1}^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}+2S~\mbox{и}~c_{1}^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+2S.
Сложив эти три равенства, получим, что
a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+6S.
б) Для остроугольного треугольника ABC
, прибавив к S
площади треугольников ABC_{1}
, AB_{1}C
и ABC_{1}
и прибавив к S_{1}
площади треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}C
и A_{1}B_{1}C
, получим один и тот же результат — площадь шестиугольника AB_{1}CA_{1}BC_{1}
, т. е.
S+\frac{b^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=S_{1}+1+\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{\sqrt{2}}\cdot\frac{c}{\sqrt{2}}\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)+
+\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{c}{\sqrt{2}}\cdot\sin(90^{\circ}+\gamma)+\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{b}{\sqrt{2}}\cdot\sin(90^{\circ}+\beta),
или
S_{1}=S+\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}(bc\cos\alpha+ab\cos\gamma+ac\cos\beta),
а так как
bc\cos\alpha+ac\cos\beta+ab\cos\gamma=2S(\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma)=
=2\cdot\frac{1}{2}bc\sin\alpha\ctg\alpha+2\cdot\frac{1}{2}ac\sin\beta\ctg\beta+2\cdot\frac{1}{2}ab\sin\gamma\ctg\gamma=
=2(S\ctg\alpha+S\ctg\beta+S\ctg\gamma)=2S(\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma)=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
(см. задачу 3248), то
S_{1}-S=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}.
Для треугольника с тупым углом при вершине A
площадь треугольника AB_{1}C_{1}
следует взять со знаком минус.