11374. Пусть O
— центр окружности, C
— точка на окружности, M
— середина OC
. Точки A
и B
лежат на окружности по одну сторону от прямой OC
, причём \angle AMO=\angle BMC
. Найдите AB
, если AM-BM=a
Ответ. 2a
.
Указание. Точки A
, B
, O
и M
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть лучи AM
и BM
пересекают окружность в точках B_{1}
и A_{1}
соответственно. Окружность симметрична относительно прямой CO
(см. задачу 1677), а
\angle CMB=\angle AMO=\angle CMB_{1},
поэтому при симметрии относительно прямой OC
точка B
перейдёт в B_{1}
. Аналогично, точка A
перейдёт в точку A_{1}
, а дуга AB
— в дугу A_{1}B_{1}
(имеются в виду меньшие дуги). Значит, эти дуги равны, и (см. задачу 26)
\angle AMB=\frac{\smile AB+\smile A_{1}B_{1}}{2}=\smile AB=\angle AOB
(AOB
— центральный угол).
Из точек M
и O
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, отрезок AB
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, O
и M
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BOM
и BAM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны.
На луче MA
отложим отрезок MK=MB
. Тогда треугольник BMK
равнобедренный, \angle MBK=\angle MKB
, и
AK=AM-MK=AM-BM=a.
Треугольник AOB
также равнобедренный, причём углы этих равнобедренных треугольников при вершинах M
и O
равны. Значит, равны углы при основаниях, т. е. \angle MBK=\angle ABO
. Тогда
\angle MBO=\angle MBK-\angle OBK=\angle ABO-\angle OBK=\angle ABK,
Следовательно, треугольники MBO
и KBA
подобны по двум углам, а так как OB=OC=2OM
, то AB=2AK=2a
.