11380. В треугольнике ABC
на стороне AB
взята такая точка K
, что радиус окружности, вписанной в треугольник ACK
, равен радиусу окружности, касающейся отрезка KB
и продолжений сторон CK
и CB
. Докажите, что S=(a+b)r
, где S
— площадь треугольника ABC
, a=BC
, b=AC
, а радиусы окружностей равны r
.
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABK
, касается его сторон AK
и CK
в точках M
и L
соответственно, а вневписанная окружность треугольника KBC
касается его стороны BK
и продолжений сторон CB
и CK
в точках P
, E
и N
соответственно. Обозначим
KM=KL=KP=KN=x,~BE=BP=y.
Тогда полупериметр треугольника ACK
равен AC+KL=b+x
, а полупериметр треугольника BCK
равен CE=a+y
(см. задачу 1750). Значит (см. задачу 452 и 392),
S_{\triangle ACK}=(b+x)r,~S_{\triangle BCK}=(a+y-(x+y))=(a-x)r.
Следовательно,
S=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACK}+S_{\triangle BCK}=(b+x)r+(a-x)r=(a+b)r.