11429. В треугольнике ABC
с непрямыми углами B
и C
проведена высота AD
. Из точки D
опущены перпендикуляры DM
и DN
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что \angle BMC=\angle BNC
.
Решение. Поскольку DM
и DN
— высоты прямоугольных треугольников, проведённые из вершин прямых углов, то (см. задачу 2728)
AM\cdot AB=AD^{2}=AN\cdot AC.
Значит, точки B
, C
, M
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Вписанные в эту окружность углы BMC
и BNC
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, они равны. Что и требовалось доказать.