11441. На стороне BC
квадрата ABCD
взяли точку M
так, что BM
в три раза длиннее MC
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ABM
, касается одной из сторон квадрата ABCD
.
Решение. Треугольник ABM
прямоугольный, поэтому центр его описанной окружности — середина O
гипотенузы AM
, а радиус равен половине AM
.
Положим AB=BC=8a
. Тогда BM=\frac{3}{4}BC=6a
. По теореме Пифагора
AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{64a^{2}+36a^{2}}=10a.
Значит, радиус окружности равен 5a
Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности на хорду BM
. Тогда H
— середина отрезка BM
(см. задачу 1676), поэтому
HM=\frac{1}{2}BM=3a,~HC=HM+MC=3a+2a=5a.
Опустим перпендикуляр OP
из центра окружности на сторону CD
. Тогда OHCP
— прямоугольник, поэтому OP=HC=5a
, т. е. отрезок OP
равен радиусу окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD
квадрата ABCD
.