11469. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высота AH
и медиана BM
. На описанной окружности треугольника BHM
отмечена такая точка D
, что AD\parallel BM
и точки B
и D
лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC
. Докажите, что BC=BD
.
Решение. Первый способ. Достроим треугольник AMB
до параллелограмма AMBL
. Тогда BL\parallel CM
и BL=AM=CM
. Значит, BCML
— тоже параллелограмм. Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника AHC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
BL=MC=HM
(см. задачу 1109). Значит, BLMH
— равнобедренная трапеция (см. задачу 5003). Тогда \angle BLH=\angle BMH
. Следовательно, точка L
лежит на описанной окружности треугольника BHM
(см. задачу 12).
Хорды DL
и BM
параллельны, поэтому BMDL
— равнобедренная трапеция. При этом BCML
— параллелограмм, значит,
BD=LM=BC.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Через точку M
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть эта прямая пересекает описанную окружность треугольника BHM
в точке L
, отличной от M
. Тогда LM
— серединный перпендикуляр к отрезку AH
, поэтому AM=MH
и LA=LH
, а LM
— биссектриса угла ALH
.
Пусть луч LA
пересекает описанную окружность треугольника BHM
в точке D'
. Поскольку LM
— биссектриса угла D'LH
, а BHML
— равнобедренная трапеция, то
\angle D'LM=\angle HLM=\angle BML.
Значит, LD'\parallel BM
. Следовательно, точка D'
совпадает с D
.
Заметим, что MD=MH
как хорды, на которые опираются равные вписанные углы MLD
и MLH
(см. задачу 805). Значит, \angle DBM=\angle MBH=\angle MBC
.
Пусть прямые BM
и CD
пересекаются в точке N
. Тогда N
— середина отрезка CD
, так как M
— середина AC
, а MN\parallel AD
. Таким образом, медиана BN
треугольника CBD
является его биссектрисой. Следовательно, треугольник равнобедренный, BC=BD
. Что и требовалось доказать.