11511. Дан прямоугольный треугольник ABC
. Окружность с центром на гипотенузе AB
проходит через точку A
и пересекает катет BC
в точках M
и N
. Пусть K
— точка, симметричная M
относительно прямой AB
. Докажите, что KN=MC+CN
.
Решение. Пусть точка M
лежит между C
и N
, а окружность вторично пересекает гипотенузу в точке D
, а катет AC
— в точке E
. Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра (см. задачу 1677), поэтому точка K
лежит на окружности, а дуга KD
, не содержащая точки A
, равна дуге MND
.
Точка E
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle AED=90^{\circ}
. Значит, DE\parallel MN
, а так как дуги, заключённые между параллельными хордами, равны (см. задачу 1678), то дуга KDN
равна дуге MND
. Тогда равны и хорды KN
и DE
, стягивающие эти дуги. Кроме того DNME
— равнобедренная трапеция.
Пусть P
— проекция точки D
на прямую BC
. Из равенства прямоугольных треугольников DPN
и ECN
по катету и гипотенузе получаем, что NP=MC
. Следовательно,
KN=DE=CP=CN+NP=CN+MC.
Что и требовалось доказать.