11569. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
, в котором AB=CD
, на сторонах AB
и CD
выбраны точки K
и M
соответственно. Оказалось, что AM=KC
, BM=KD
. Докажите, что угол между прямыми AB
и KM
равен углу между прямыми KM
и CD
.
Решение. Первый способ. Треугольники ABM
и CDK
равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты KK_{1}
и MM_{1}
. Если они равны KM
, то они совпадают с KM
, и утверждение задачи очевидно. Если же эти высоты меньше KM
, то прямоугольные треугольники KK_{1}M
и MM_{1}K
равны по гипотенузе и катету. Значит, равны их углы K_{1}MK
и M_{1}KM
. Что и требовалось доказать. На рисунках 1 и 2 показаны два возможных случая взаимного расположения треугольников KK_{1}M
и MM_{1}K
.
Второй способ. Воспользуемся четвёртым признаком равенства треугольников (см. задачу 10280).
Треугольники ABM
и CDK
равны по трём сторонам, поэтому
\angle KAM=\angle BAM=\angle DCK=\angle MCK.
Таким образом, треугольники AKM
и CMK
имеют пару равных сторон AM=CK
, общую сторону KM
и пару равных углов напротив общей стороны. Если треугольники AKM
и CMK
равны, то \angle AKM=\angle CMK
, и всё доказано. Если же они не равны, то
\angle AKM=180^{\circ}-\angle CMK=\angle DMK,
и тоже всё доказано.
Примечание. См. также статью А.Егорова «Четвёртый признак равенства треугольников», Квант, 2005, N2, с.32-338.