11703. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, в котором \angle B=60^{\circ}
. Серединные перпендикуляры к отрезкам AH
и CH
пересекают прямую AC
в точках A_{1}
и C_{1}
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{1}HC_{1}
лежит на биссектрисе угла ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть треугольник ABC
остроугольный. Для доказательства построим окружность \Omega
с центром на биссектрисе угла ABC
и докажем, что точки A_{1}
, C_{1}
и H
лежат на ней.
Заметим, что
\angle AHC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
\angle CAH+\angle ACH=60^{\circ},
Треугольники AA_{1}H
и CC_{1}H
равнобедренные, так как точки A_{1}
и C_{1}
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам AH
и CH
. Значит,
\angle A_{1}HC_{1}=\angle AHC-\angle A_{1}HA-\angle C_{1}HC=
=\angle AHC-\angle CAH-\angle ACH=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.
Пусть O_{1}
— точка пересечения указанных серединных перпендикуляров, т. е. центр описанной окружности треугольника AHC
. Тогда угол при вершине равнобедренного треугольника AO_{1}C
равен 120^{\circ}
. Следовательно, точка O_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, а так как O_{1}A=O_{1}B
(точка O_{1}
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC
), то O_{1}
— середина дуги AC
этой окружности. Значит, BO_{1}
— биссектриса угла B
(см. задачу 430).
Рассмотрим отличную от O_{1}
точку O_{2}
пересечения этой биссектрисы с описанной окружностью треугольника A_{1}O_{1}C_{1}
. Заметим, что A_{1}O_{1}\parallel BC
(обе эти прямые перпендикулярны AH
), поэтому
\angle A_{1}O_{1}O_{2}=\angle A_{1}O_{1}B=\angle CBO_{1}=30^{\circ}.
Аналогично \angle C_{1}O_{1}O_{2}=30^{\circ}
. Значит, хорды A_{1}O_{2}
и C_{1}O_{2}
равны, а
\angle A_{1}O_{2}C_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}O_{1}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Тогда окружность \Omega
с центром O_{2}
и радиусом O_{2}A_{1}
проходит через точку C_{1}
, а так как
\angle A_{1}HC_{1}=60^{\circ}=\frac{1}{2}\angle A_{1}O_{1}C_{1}
и точки H
и O_{2}
лежат по одну сторону от прямой A_{1}C_{1}
, то точка H
тоже лежит на окружности \Omega
(см. задачу 2900). Следовательно, точка O_{2}
— центр описанной окружности треугольника A_{1}HC_{1}
, и эта точка лежат на биссектрисе угла ABC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, O_{1}
— та же точка, что в первом способе, а O_{2}
— центр описанной окружности треугольника A_{1}HC_{1}
.
Биссектриса угла ABC
и серединный перпендикуляр к стороне треугольника ABC
пересекаются в середине меньшей дуги AC
описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 1743), поэтому точки O
и O_{1}
симметричны относительно прямой AC
. Значит,
\angle A_{1}OC_{1}=\angle A_{1}O_{1}C_{1}=\frac{1}{2}\angle AO_{1}C=\frac{1}{2}\angle AOC=60^{\circ}.
Но и \angle A_{1}HC_{1}=60^{\circ}
(см. первый способ). Значит, точка O
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}HC_{1}
, т. е. O_{2}O=O_{2}H
. Кроме того, BO=BH
(см. задачу 10670). Таким образом, O_{1}B
— серединный перпендикуляр к OH
. Из равенства углов ABO
и CBH
(см. задачу 20) он совпадает с биссектрисой угла B
.
Примечание. Оба решения написаны для случая остроугольного треугольника ABC
. Случай, когда угол A
(или C
) тупой, разбирается аналогично.