11726. На прямой в указанном порядке отмечены точки A
, B
, C
, D
(AB\ne CD
). По одну сторону от этой прямой построены равносторонние треугольники ABX
, BCY
и CDZ
. Оказалось, что XY=YZ
. Найдите углы треугольника XYZ
.
Ответ. 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим треугольники XBY
и ZCY
. Известно, что
XY=YZ,~BY=CY,~\angle B=\angle C=60^{\circ}~\mbox{и}~XB\ne CZ.
В этих треугольниках равны две стороны и угол не между ними, но они не равны, значит,
\angle BXY+\angle CZY=180^{\circ}
(см. задачу 10280).
Сумма углов пятиугольника BXYZC
равна 180^{\circ}\cdot(5-2)=540^{\circ}
(см. задачу 1198). Известно, что
\angle B=\angle C=120^{\circ},
поэтому
\angle XYZ=540^{\circ}-(\angle X+\angle Z)-(\angle B+\angle C)==540^{\circ}-180^{\circ}-2\cdot120^{\circ}=120^{\circ}.