11814. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Окружности с диаметрами AB
и CD
пересекаются в двух точках X_{1}
и Y_{1}
. Окружности с диаметрами BC
и AD
пересекаются в двух точках X_{2}
и Y_{2}
. Окружности с диаметрами AC
и BD
пересекаются в двух точках X_{3}
и Y_{3}
. Докажите, что прямые X_{1}Y_{1}
, X_{2}Y_{2}
, X_{3}Y_{3}
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Пусть
\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}.
Наряду с каждой точкой M
будем рассматривать её радиус-вектор \overrightarrow{m}=\overrightarrow{OM}
, где O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
. Радиус-вектор центра окружности \Omega_{AB}
, построенной на отрезке AB
как на диаметре, равен \frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
(см. задачу 4500), а её радиус равен \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|
.
Степень точки S
с радиус-вектором \frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})
относительно окружности \omega_{AB}
равна разности квадрата расстояния от точки S
до центра этой окружности и квадрата её радиуса, т. е.
\frac{1}{4}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})^{2}-\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
(поскольку |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|
).
Очевидно, степень точки S
относительно \Omega_{CD}
будет такой же. Значит, точка S
лежит на радикальной оси X_{1}Y_{1}
этих окружностей. Аналогично, точка S
лежит на прямых X_{2}Y_{2}
и X_{3}Y_{3}
. Что и требовалось доказать.
(Можно и так. Пусть K
и L
— середины сторон AB
и CD
, а точка S
симметрична центру O
относительно центра тяжести вершин A
, B
, C
, D
. Тогда KOLS
— параллелограмм (см. задачу 5706). Значит,
KS^{2}-KA^{2}=OL^{2}-(OA^{2}-OK^{2})=OK^{2}-(OC^{2}-OL^{2})=LS^{2}-LC^{2}.
Это значит, что степени точки относительно окружностей \Omega_{AB}
и \Omega_{CD}
равны, поэтому точка S
лежит на радикальной оси X_{1}Y_{1}
этих окружностей. Аналогично, точка S
лежит на X_{2}Y_{2}
и X_{3}Y_{3}
. Что и требовалось доказать.)
Второй способ. Воспользуемся теоремой Монжа (см. задачу 5706).
Если в четырёхугольнике ABCD
есть пара параллельных сторон, то утверждение очевидно, так как в силу симметрии две из прямых будут серединными перпендикулярами к этим параллельным сторонам, то есть совпадут, а третья прямая будет им перпендикулярна. Поэтому далее считаем, что параллельных сторон нет.
Пусть \Omega
— описанная окружность четырёхугольника ABCD
, \Omega_{AB}
— окружность, построенная на отрезке AB
как на диаметре, и т. д., M_{AB}
— середина AB
, и т. д., K
— точка пересечения прямых AB
и CD
. Тогда K
— радикальный центр окружностей \Omega_{AB}
, \Omega_{CD}
и \Omega
. Радикальная ось X_{1}Y_{1}
окружностей \Omega_{AB}
и \Omega_{CD}
перпендикулярна их линии центров, а значит, содержит высоту треугольника M_{AB}KM_{CD}
. Тогда прямая X_{1}Y_{1}
проходит через точку пересечения высот этого треугольника — точку Монжа G
(т. е. точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M_{AB}
и M_{CD}
на прямые CD
и AB
соответственно). Аналогично, через эту точку проходят прямые X_{2}Y_{2}
и X_{3}Y_{3}
. Что и требовалось доказать.