11816. Дан квадрат ABCD
и прямая l
, проходящая через точку C
и не пересекающая квадрат в других точках. Используя только линейку, постройте на прямой l
точку T
, для которой AT\perp l
. (Используя линейку, можно проводить прямую через две точки.)
Решение. Продлим стороны AB
и AD
до пересечения с прямой l
в точках P
и Q
соответственно. Проведём отрезки PD
и QB
. Прямая, проходящая через точку их пересечения и точку A
, будет перпендикулярна l
. Докажем это. (Тогда пересечение этой прямой с l
будет искомой точкой T
.) Для этого покажем, что отрезки AT
, PD
и QB
пересекаются в одной точке.
Первый способ. Пусть сторона квадрата ABCD
равна 1, а AT\perp PQ
. Обозначим PB=x
, \angle AQP=\angle BCP=\angle CAP=\alpha
(рис. 1). Тогда
\frac{PB}{BA}=x=\tg\alpha,~\frac{AD}{DQ}=\frac{CD}{DQ}=\tg\alpha=x,~
\frac{QT}{TP}=\left(\frac{AQ}{AP}\right)^{2}=\ctg^{2}\alpha=\frac{1}{x^{2}}
(см. задачу 1946). Значит,
\frac{PB}{BA}\cdot\frac{AD}{DQ}\cdot\frac{QT}{TP}=x\cdot x\cdot\frac{1}{x^{2}}=1.
Следовательно, по теореме Чевы отрезки AT
, PD
и QB
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Второй способ (участница конкурса Мария Дренчева). Пусть AT
— высота треугольника APQ
(рис. 2). Тогда из точки T
отрезок BD
виден под прямым углом, а так как BD
— диаметр окружности, описанной около квадрата ABCD
, то точка T
лежит на этой окружности. Вписанные в эту окружность углы ATB
и ATD
, опираются на равные хорды, поэтому они равны. Следовательно (см. примечание к задаче 1296), отрезки AT
, PD
и QB
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.