11911. В трапецию ABCD
вписана окружность, касающаяся боковой стороны AB
в точке M
, причём AM=18
. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 112, а площадь равна 672.
Ответ. AB=26
, CD=30
, BC=32
, AD=24
или AB=26
, CD=30
, BC=14
, AD=42
.
Решение. Пусть 2p=112
— периметр трапеции ABCD
, S=672
— её площадь По свойству описанного четырёхугольника (см. задачу 310)
AD+BC=AB+CD=p=56,
а так как площадь любого описанного многоугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности (см. задачу 523), то
r=\frac{S}{p}=\frac{672}{56}=12.
Пусть окружность радиуса r
с центром O
касается сторон BC
и CD
трапеции в точках K
и N
соответственно. Отрезок OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313), поэтому
r^{2}=OM^{2}=AM\cdot MB
(см. задачу 2728), откуда
MB=\frac{r^{2}}{AM}=\frac{144}{18}=8.
Значит,
AB=AM+MB=18+8=26,
CD=p-AB=56-26=30,~BK=MB=8,
Обозначим CK=CN=x
. Из прямоугольного треугольника COD
получаем
r^{2}=ON^{2}=CN\cdot ND,~\mbox{или}~144=x(30-x),~x^{2}-30x+144=0,
откуда x=24
или x=6
.
В первом из этих случаев
BC=BK+KC=8+x=8+24=32,~AD=p-BC=56-32=24,
во втором —
BC=BK+KC=8+x=8+6=14,~AD=p-BC=56-14=42.