11929. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность диаметра 17. Диагонали AC
и BD
перпендикулярны. Найдите стороны AB
, BC
, CD
, если известно, что AD=8
и AB:CD=3:4
.
Ответ. AB=\frac{51}{5}=10{,}2
; CD=\frac{68}{5}=13{,}6
; BC=15
.
Решение. Поскольку
\angle OAB=\angle CAB=\angle BDC=\angle ODC,
прямоугольные треугольники AOB
и DOC
подобны, поэтому OA:OD=AB:CD=3:4
.
Пусть OA=3y
и OD=4y
. По теореме Пифагора
64=AD^{2}=OA^{2}+OD^{2}=9y^{2}+16y^{2}=25y^{2},
откуда y=\frac{8}{5}
.
Обозначим \angle ADB=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle ADO=\frac{OA}{AD}=\frac{3y}{8}=\frac{\frac{24}{5}}{8}=\frac{3}{5}.
Пусть R=\frac{17}{2}
— радиус данной окружности. По теореме синусов
AB=2R\sin\alpha=17\cdot\frac{3}{5}=\frac{51}{5}.
Тогда
CD=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}\cdot\frac{51}{5}=\frac{68}{5}.
Диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны, поэтому суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344), т. е.
BC^{2}+AD^{2}=AB^{2}+CD^{2}.
Следовательно,
BC^{2}=AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}=\frac{51^{2}}{25}+\frac{68^{2}}{25}-64=
=\frac{17^{2}}{25}(9+16)-64=289-64=225,~BC=15.