11955. Каждая сторона четырёхугольника ABCD
разделена на три равные части. Через точки деления сторон AB
и AD
, ближайшие к вершине A
, проведена прямая. Аналогичные прямые проведены и через точки деления, ближайшие к вершинам B
, C
и D
. Докажите, что центр тяжести четырёхугольника, образованного проведёнными прямыми, совпадает с центром тяжести четырёхугольника ABCD
.
Решение. Пусть точки E
и R
лежат на стороне AB
, причём AE=ER=RB
, точки S
и F
— на стороне BC
, причём BS=SF=FC
, точки G
и T
— на стороне CD
, причём CG=GT=TD
, точки U
и H
— на стороне DA
, причём DU=UH=HA
; прямые RS
и HE
пересекаются в точке M
, прямые RS
и FG
— в точке N
, прямые FG
и TU
— в точке P
, прямые TU
и HE
— в точке Q
.
Прямые EF
и GH
параллельны диагонали AC
четырёхугольника ABCD
, так как
BE:AB=BF:BC=2:1=DH:AD=DG:CD,
поэтому EF\parallel AC
. Аналогично, EH\parallel GF
. Значит, EFHG
— параллелограмм.
Центры тяжести треугольников ABC
и ADC
с общей стороной AC
— точки соответственно K
и L
пересечения их медиан, поэтому эти точки лежат на медианах BX
и DX
треугольников ABC
и ABD
, а так как EF\parallel AC\parallel GH
, то K
и L
— середины сторон EF
и GH
параллелограмма EFGH
(см. задачу 2607). Тогда отрезок KL
проходит через центр O
этого параллелограмма и делится точкой O
пополам. Следовательно, точка O
— центр тяжести четырёхугольника ABCD
(см. задачу 6797).
Прямая KL
, параллельная стороне EH
параллелограмма EFGH
, а значит, параллельная стороне EM
параллелограмма EMNF
, и проходящая через середину стороны EF
, проходит через середину стороны MN
параллелограмма EMNF
. Аналогично, эта прямая проходит через середину PQ
. Следовательно, прямая, проходящая через середины сторон MN
и PQ
проходит через точку O
. MNPQ
. Аналогично для прямой, проходящей через середины сторон MQ
и NP
. Таким образом, прямые, проходящей середины противоположных сторон параллелограмма MNPQ
проходят через точку O
. Следовательно, O
— точка пересечения его диагоналей, т. е. центр тяжести параллелограмма MNPQ
.