11972. Окружности \alpha
и \beta
с центрами A
и B
соответственно пересекаются в точках C
и D
. Отрезок AB
пересекает окружности \alpha
и \beta
в точках K
и L
соответственно. Луч DK
вторично пересекает окружность \beta
в точке N
, а луч DN
вторично пересекает окружность \alpha
в точке M
. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN
совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть I
— центр описанной окружности треугольника CKL
. Вписанный в окружность \alpha
угол CMD
равен половине угловой величины дуги CKD
этой окружности, т. е. угловой величине не содержащей точки M
дуги CK
, а значит, \angle CAK=\angle CML
. Из точек A
и M
, лежащих по одну сторону от прямой CL
, отрезок CL
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки A
, M
, C
и L
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Докажем, что на этой окружности лежит точка I
.
Действительно, центральный угол CIL
описанной окружности треугольника CKL
вдвое больше вписанного в эту окружность угла CKL
, равного углу ACK
(так как треугольник ACK
равнобедренный). Значит,
\angle CIL=2\angle CKL=2\angle CKA=180^{\circ}-\angle CAK=180^{\circ}-\angle CML.
Тогда CMLI
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 49), следовательно, точка I
лежит на окружности, проходящей через точки A
, M
, C
и L
. Что и требовалось доказать.
Точка I
, лежащая на этой окружности, — середина дуги CIL
, поэтому луч AI
— биссектриса угла BAC
. Аналогично, луч BI
— биссектриса угла ABC
. Следовательно, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 1140).