12121. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке L
, а описанную окружность треугольника — в точке W
(отличной от A
). Докажите, что
AW^{2}=CW^{2}+AB\cdot AC.
Решение. Треугольники CWL
и AWC
подобны по двум углам, так как угол при вершине W
общий, а
\angle LCW=\angle BCW=\angle BAW=\angle CAW.
Значит,
\frac{AW}{CW}=\frac{CW}{LW}~\Rightarrow~CW^{2}=AW\cdot LW.
Кроме того, из подобия треугольников AWC
и ABL
получаем
\frac{AW}{AB}=\frac{AC}{AL}=\frac{AC}{AW-LW}~\Rightarrow~AW^{2}-AW\cdot LW=AB\cdot AC~\Rightarrow~
\Rightarrow~AW^{2}-CW^{2}=AB\cdot AC.
Следовательно, AW^{2}=CW^{2}+AB\cdot AC
.
Примечание. 1. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) CW=IW
, где I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, поэтому полученную формулу можно записать в виде AW^{2}=IW^{2}+AB\cdot AC
.
2. См. статью И.А.Кушнира «Семейство формул Лагранжа», Квант, 2011, N2, с.40.