12126. Вневписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках L
, M
и N
соответственно. Отрезок AL
(чевиана Нагеля) пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины B
, в точке P
. Отрезок BM
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины C
, в точке Q
. Отрезок CN
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины A
, в точке R
. Докажите, что
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачи 1723 и 1750)
BL=p-c,~CM=p-a,~AN=p-b.
Поскольку BP
— биссектриса треугольника ABL
, то (см. задачу 1509)
\frac{AP}{PL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{p-c},~\frac{BQ}{QM}=\frac{a}{p-a},~\frac{CR}{RN}=\frac{b}{p-b}.
Следовательно,
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}=\frac{abc}{(p-a)(p-b)(p-c)},
а так как (см. задачу 6869)
8(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant abc,
то
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Что и требовалось доказать.