12130. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Решение. Пусть ABC
— внешний треугольник, а BC
— наибольшая сторона. Предположим противное: пусть AB
и AC
— две наименьшие стороны среди всех шести сторон двух треугольников. Высота AD
разбивает треугольник ABC
на два прямоугольных треугольника ADB
и ADC
(см. задачу 127). Один из этих треугольников содержит хотя бы две вершины внутреннего треугольника. Пусть для определённости треугольник ADB
содержит вершины X
и Y
внутреннего треугольника. Но тогда сторона XY
содержится внутри треугольника ABD
, вписанного в окружность с диаметром AB
. Итак, отрезок XY
лежит строго внутри окружности с диаметром AB
, значит, XY\lt AB
(см. задачи 3509 и 3538). Противоречие.