12211. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные KL
и MN
. Их точки касания с меньшей окружностью — L
и M
, с большей окружностью — K
и N
. Известно, что KN=\frac{64}{5}
, MN=8
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. r=2
, R=8
.
Решение. Пусть O
— центр меньшей окружности, r
— её радиус, Q
— центр большей окружности, R
— её радиус, H
— точка пересечения прямых OQ
и KN
(H
— середина KN
), E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на QN
.
Тогда MOEN
— прямоугольник, поэтому (см. задачу 365) OE=MN=2\sqrt{rR}
или 8=2\sqrt{rR}
, откуда rR=16
. Прямоугольные треугольники QHN
и QEO
с общим острым углом при вершине Q
подобны, поэтому \frac{NH}{QN}=\frac{OE}{OQ}
, или \frac{32}{5R}=\frac{8}{r+R}
, откуда R=4r
, а так как rR=16
, то 4r^{2}=16
. Следовательно, r=2
и R=4r=8
.