12235. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке O
и равны соответственно 30, 24 и 18. Найдите площадь треугольников ABC
и OA_{1}C
, а также радиус окружности, описанной около треугольника AOC_{1}
.
Ответ. 288
, 48
, R=\frac{5\sqrt{73}}{4}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC
. По формуле Герона
S=\sqrt{36\cdot6\cdot12\cdot18}=216.
Следовательно (см. задачи 3033 и 3013),
S_{\triangle ABC}=\frac{4}{3}S=\frac{4}{3}\cdot216=288,
S_{\triangle AOC_{1}}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}\cdot288=48.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AA_{1}=m_{a}
, BB_{1}=m_{b}
, CC_{1}=c
. Поскольку
a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=\frac{4}{3}(900+576+324)=2400
(см. задачу 4047), а
a^{2}+b^{2}=\frac{1}{2}(4m_{c}^{2}+c^{2})
(см. задачу 4014), то
c^{2}=2400-(a^{2}+b^{2})=2400-\frac{1}{2}(4m_{c}^{2}+c^{2})=2400-\frac{1}{2}(4\cdot324+c^{2})=
=2400-648-\frac{1}{2}c^{2}=1752-\frac{1}{2}c^{2},~\frac{3}{2}c^{2}=1752,~c^{2}=1168=16\cdot73.
откуда c=4\sqrt{73}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника OA_{1}C
со сторонами
C_{1}O=\frac{1}{3}m_{c}=6,~OA=\frac{2}{3}m_{a}=20,~AC_{1}=\frac{1}{2}c=2\sqrt{73}.
Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{C_{1}O\cdot OA\cdot AC_{1}}{4S_{AOC_{1}}}=\frac{6\cdot20\cdot2\sqrt{73}}{4\cdot48}=\frac{5\sqrt{73}}{4}.