12284. Дана окружность с диаметром AB
. С одной стороны от этого диаметра на окружности выбраны произвольные точки C
и D
. Отрезки AC
и BD
пересекаются в точке E
. Из точки E
на диаметр опущен перпендикуляр EH
. Пусть прямая DH
повторно пересекает окружность в точке F
. Докажите, что прямые CF
и AB
перпендикулярны.
Решение. Пусть точка E
лежит внутри окружности (рис. 1), а прямые AD
и BC
пересекаются в точке G
. Поскольку \angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}
(см. задачу 1689), отрезки AC
и BD
— высоты треугольника AGB
, а E
— его ортоцентр. Значит, высота треугольника AGB
, проведённая из вершины G
, проходит через точку E
, а H
— основание этой высоты. Тогда (см. задачу 141)
\angle BHC=\angle CGD~\mbox{и}~\angle BHF=\angle AHD=CGD,
поэтому луч HB
— биссектриса угла CHF
.
При симметрии относительно прямой AB
окружность переходит в себя, а луч HC
, пересекающий окружность в точке C
, — в луч HF
, пересекающий окружность в точке F
. Значит, точки C
и F
симметричны относительно прямой AB
. Следовательно, CF\perp AB
.
Аналогично для случая, когда прямые AD
и BC
пересекаются вне окружности (рис. 2).