12334. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом B
проведена биссектриса угла A
. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC
, в точке K
. Найдите угол BCK
, если известно, что угол ACB
равен 40^{\circ}
.
Ответ. 25^{\circ}
.
Решение. В неравнобедренном треугольнике биссектриса угла и серединный перпендикуляр к противоположной стороне пересекаются на описанной около треугольника окружности, причём точка пересечения — середина дуги, на которую опирается этот угол (см. задачу 1743).
В нашей задаче точка K
— середина меньшей дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
. Треугольник BKC
равнобедренный, а так как четырёхугольник ABKC
вписанный, то
\angle BKC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}+\angle ACB=130^{\circ}.
Следовательно,
\angle BCK=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BKC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-130^{\circ})=25^{\circ}.