12421. Сторона AD
прямоугольника ABCD
в три раза больше стороны AB
. Точка E
лежит на стороне AD
, причём AE=2DE
. Найдите угол между прямыми AC
и BE
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Указание. См. задачу 1054.
Решение. Пусть прямые AC
и BE
пересекаются в точке O
. Обозначим \angle AOB=\varphi
искомый угол, \angle CAD=\alpha
, \angle AEB=\beta
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\varphi=\angle AOB=\angle OAE+\angle OEA=\alpha+\beta.
Отметим середину F
отрезка AE
. Тогда из равенства прямоугольных треугольников CDF
и BAE
(по двум катетам) следует, что
\angle CFD=\angle BEA=\beta,
а так как
\alpha+\beta=\angle CAE+\angle CFD=45^{\circ}
(см. задачу 1054), то
\varphi=\alpha+\beta=45^{\circ}.